乘法公式和因式分解

乘法公式及其推广

1. 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
   eg：根式减法转化为根式有理化$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$
2. 立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
3. 立方和公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
4. 四次方差公式：$a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$
5. 五次方差：$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$
   规律：
   n为正整数：$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$
   n为正奇数（才有和的形式）：$$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$$

1. $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$
2. $(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2$
3. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
4. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
   n个多项式相乘$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k=a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^{n-2}+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^nb^n$$
   其中：$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$
   阶乘：$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\cdots2\times1$
   规定$1!=1\;\;0!=1$

5. $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=(a+b+c)\cdot\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]$